幂平均不等式百度百科(幂平均不等式)

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导读 关于幂平均不等式百度百科,幂平均不等式这个很多人还不知道,今天菲菲来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!1、下面只对凸函

关于幂平均不等式百度百科,幂平均不等式这个很多人还不知道,今天菲菲来为大家解答以上的问题,现在让我们一起来看看吧!

1、下面只对凸函数加以证明。

2、首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k 1)(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n=((f(x1) f(x2) ... f(x(n/2)))/(n/2) (f(x(n/2 1)) ... f(xn))/(n/2))/2≥(f(((x1 x2 ... x(n/2))/(n/2)) f((x(n/2 1) ... xn)/(n/2)))/2≥f(((((x1 x2 ... x(n/2))/(n/2) (x(n/2 1) ... xn)/(n/2)))/2)=f((x1 x2 ... xn)/n)所以对于所有2的幂,琴生不等式成立。

3、现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n然后我们设x(n 1)=x(n 2)=...=x(2^k)=(x1 x2 ... xn)/n代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论。

4、现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式(x1^2 x2^2 ... xn^2)/n>=[(x1 x2 ... xn)/n]^2显然,我们可以查看函数f(x)=x^2由于(f(x1) f(x2))/2=(x1^2 x2^2)/2=(2x1^2 2x2^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2 (x1-x2)^2)/4≥(x1^2 x2^2 2x1x2)/4=((x1 x2)/2)^2所以f(x)=x^2是凸函数所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,有(f(x1) f(x2) ... f(xn))/n≥f((x1 x2 ... xn)/n)也就是n阶平方平均不等式。

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